Question

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．

小题1:求∠D的度数；
小题2:求证：AC²＝AD·CE；
小题3:求的值．

Answer 1

小题1:解：如图，连结OB．

∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵AD∥OC，
∴∠D＝∠OCB＝45°．
小题2:证明：∵∠BAC＝45°，∠D＝45°，
∴∠BAC＝∠D．
∵AD∥OC，
∴∠ACE＝∠DAC．
∴△ACE∽△DAC．

∴AC²＝AD·CE．
小题3:解法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连结OA．

∵AD∥OC，
∴∠F＝∠BOC＝90°．
∵∠ABC＝15°，
∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝30°．
∵OA＝OB．
∴∠FOA＝∠OBA＋∠OAB＝60°，∠OAF＝30°．
∴．
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD．

即的值为2．
解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得

所以

 略