题目内容
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上,E、F分别在AC、BC上,当点D在AB边上移动时,DE始终与AB垂直.(1)设AD=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围;
(2)如果△CEF与△DEF相似,求AD的长.
分析:(1)由于∠EDF=30°,且DE总垂直于AB,因此∠FDB=60°,此时发现△FDB是等边三角形,那么BF=BD,可分别用x、y表示出BD、BF的长,根据上面的等量关系即可得到y、x的函数关系式;求x的取值范围时,可参照两个条件:①y≥0,②若E在AC上,那么y值最大时,E点与C点重合,可据此求出x的最大值;
(2)由于∠C是直角,当△CEF与△DEF相似时,△DEF必为直角三角形,那么可分两种情况讨论:
①∠DEF=90°,此时,△CEF∽△DEF;②∠DFE=90°,此时△CEF∽△FED;
可根据各相似三角形得到的比例线段求出y的值,进而可求得AD的值.
(2)由于∠C是直角,当△CEF与△DEF相似时,△DEF必为直角三角形,那么可分两种情况讨论:
①∠DEF=90°,此时,△CEF∽△DEF;②∠DFE=90°,此时△CEF∽△FED;
可根据各相似三角形得到的比例线段求出y的值,进而可求得AD的值.
解答:解:(1)∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,
∴∠FDB=∠B=60°,∴△BDF是等边三角形;
∵BC=1,∴AB=2;
∴2-x=1-y;
∴y=x-1;(2分)
自变量的取值范围是:1≤x≤
;(3分)
(2)①如图,∠FED=90°,△CEF∽△EDF,
∴
=
,即
=
解得,y=
;
∴BF=1-
=
,(4分)AD=AB-BD=2-
=
;(5分)
②如图2,∠EFD=90°,△CEF∽△FED,
∴
=
,即
=
;
解得,y=
;
∴BF=1-
=
;(6分)
∴AD=AB-BD=2-
=
.(7分)
∴∠FDB=∠B=60°,∴△BDF是等边三角形;
∵BC=1,∴AB=2;
∴2-x=1-y;
∴y=x-1;(2分)
自变量的取值范围是:1≤x≤
3 |
2 |
(2)①如图,∠FED=90°,△CEF∽△EDF,
∴
CF |
EF |
EF |
DF |
y |
2y |
2y |
1-y |
解得,y=
1 |
5 |
∴BF=1-
1 |
5 |
4 |
5 |
4 |
5 |
6 |
5 |
②如图2,∠EFD=90°,△CEF∽△FED,
∴
CF |
FD |
CE |
EF |
y |
1-y |
1 |
2 |
解得,y=
1 |
3 |
∴BF=1-
1 |
3 |
2 |
3 |
∴AD=AB-BD=2-
2 |
3 |
4 |
3 |
点评:此题主要考查了直角三角形的性质、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质;同时还考查了分类讨论的数学思想.
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