题目内容

【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PEBC于点EPFCD于点F,连接EF.给出下列五个结论:①AP=EF;②APEF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=BAP;⑤PD=2EC.其中正确的结论是___________________(填序号)

【答案】①②④

【解析】

PPGAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件,证明AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF;④∠PFE=BAP;在此基础上,根据正方形的对角线平分对角的性质,在RtDPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得⑤DP=EC

证明:过PPGAB于点G


∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,
GP=EP
GPB中,∠GBP=45°
∴∠GPB=45°
GB=GP
同理,得
PE=BE
AB=BC=GF
AG=AB-GBFP=GF-GP=AB-GB
AG=PF
∴△AGP≌△FPE
①∴AP=EF
PFE=GAP
∴④∠PFE=BAP
②延长APEF上于一点H
∴∠PAG=PFH
∵∠APG=FPH
∴∠PHF=PGA=90°,即APEF
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,∠ADP=45度,
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时,APD是等腰三角形,
除此之外,APD不是等腰三角形,故③错误.
GFBC
∴∠DPF=DBC
又∵∠DPF=DBC=45°
∴∠PDF=DPF=45°
PF=EC
∴在RtDPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2
∴⑤DP=EC
∴其中正确结论的序号是①②④.

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