Question

已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8．

（1）若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°,求四边形ABCD的面积;
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,试求四边形ABCD的面积（用含θ,a,b的代数式表示）．

Answer 1

（1）四边形ABCD的面积=40;
（2）四边形ABCD的面积S=4S_△AOD=20;
（3）四边形ABCD的面积=absinθ．

试题分析：（1）因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半;
（2）过点A分别作AE⊥BD,CF⊥BD,根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积,那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积;
（3）作辅助线AE⊥BD,CF⊥BD,利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高,那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．
试题解析：（1）∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD的面积=AC•BD=40;
（2）分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F．   
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO=AC=5,BO=DO=BD=4．
在Rt△AOE中,sin∠AOE=,
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．
∴S_△AOD=OD•AE=×4××5=5．
∴四边形ABCD的面积S=4S_△AOD=20;
（3）如图所示,过点A,C分别作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F．

在Rt△AOE中,sin∠AOE=,
∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．
同理可得
CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．
∴四边形ABCD的面积
S=S_△ABD+S_△CBD=BD•AE+BD•CF
=BDsinθ（AO+CO）
=BD•ACsinθ
=absinθ．