题目内容

阅读：我们知道，在数轴上x=1表示一个点，而平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交P的坐标（1，3）就是方程组 $数学公式$ 的解，所以这个方程组的解是 $数学公式$ 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧部分，如图②；y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它的右下方的部分，如图③．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组 $数学公式$ 的解；
（2）用阴影部分表示不等式组 $数学公式$ 所围成的平面区域，并求围成区域的面积；
（3）现有一直角三角形（其中∠A=90°，AB=2，AC=4）小车沿x轴自左向右运动，当点A到达何位置时，小车被阴影部分挡住的面积最大？

解：（1）如图，由图象可得方程组的解是 $\text{[math]}$ ；

（2）不等式组 $\text{[math]}$ 所围成的平面区域如图所示；
阴影部分的面积是 $\text{[math]}$ ；

（3）由题意，BC所在直线与二元一次方程2x+y-2=0所表示的直线垂直．
设小车沿x轴自左向右运动，当点A的坐标为（a，0）时，小车被阴影部分挡住的面积最大．分五种情况：
①当-2≤a≤0时，此时点A与原点重合时，小车被挡住的面积最大为 $\text{[math]}$ ；
②当0≤a≤1时，此时被挡住的面积为：
S= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ；
③当1≤a≤2时，此时被挡住的面积为：
S= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当a=1时 $\text{[math]}$ ；
④当2≤a≤5时，此时点A与点（2，0）重合时，小车被挡住的面积最大为 $\text{[math]}$ ；
⑤当a＜-2或a＞5时，小车与阴影无公共部分．
综上所述，当点A的坐标为 $\text{[math]}$ 时，小车被挡住的面积最大为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）用作图法来求方程组的解，可先分别作出方程组中两个函数x=-2和y=-2x+2的图象，然后在坐标系中找出交点的坐标，横坐标就是x的值，纵坐标就是y的值；
（2）直线x=-2以及它的右侧部分，直线y=-2x+2以及它的左下方的部分，x轴以及它的上方的部分，三者围成的三角形区域即为所求，或者是直线x=-2，y=-2x+2，y=0围成的三角形区域即为所求；根据三角形的面积公式即可求出围成区域的面积；
（3）设小车沿x轴自左向右运动，当点A的坐标为（a，0）时，小车被阴影部分挡住的面积最大．分五种情况：①-2≤a≤0；②0≤a≤1；③当1≤a≤2；④2≤a≤5；⑤a＜-2或a＞5，针对每一种情况，分别求出小车被阴影部分挡住的最大面积，然后比较，即可得出结果．
点评：本题考查了一次函数与方程组及不等式组之间的联系，一次函数、二次函数的性质及图形的面积等知识，有一定难度．问题（3）中能够将点A的横坐标正确分类是解题的关键．