题目内容

如图1，矩形OABC，O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，A、D坐标分别为（10，0）和（6，0），抛物线 $数学公式$ 过点C、B．
（1）求B点的坐标及该抛物线的解析式；
（2）如图2，矩形PQRS的长、宽一定，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S位于x轴上方且距离x轴 $数学公式$ 个单位．当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2：3时，求点P的坐标；
（3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿线段OD运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O→C→D的路线运动，当M、N中的其中一点停止运动时，另一点也停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

解：（1）由矩形OCBA得：∠COA=∠BAO=90°，OC=AB，BC=OA=10；
由△CBE沿CE翻折得到△CED，得 CD=CB=10，
由勾股定理得： $\text{[math]}$ ，
得：C（0，8），B（10，8）；
又C、B均在 $\text{[math]}$ 上，代入，得：
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）当x=-1时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ；
又由S距离x轴上方 $\text{[math]}$ 个单位，得： $\text{[math]}$ ，∴矩形PQRS的长为8．
设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
则由题意知： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
故P的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则：
$\text{[math]}$ ，得：a₁=4，a₂=6
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

（3）①当0≤t≤1时，此时M在OD上，N在OC上．
∴ $\text{[math]}$ ；
②当1＜t≤2时，此时M在OD上，N在CD上．则DN=18-8t
过N作NH⊥OD于H，则 $\text{[math]}$ ，得：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
综上， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据折叠的性质可知：CD=CB，因此在已知A、D的坐标情况下，能得到CB、CD、OD的长，在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求出OC的长，则B点坐标可求；再利用待定系数法就能求得抛物线的解析式．
（2）将点P的横坐标-1代入（1）的抛物线解析式中即可求得点P到x轴的距离，再由“点S位于x轴上方且距离x轴 $\text{[math]}$ 个单位”即可求出PS的长；当矩形PQRS的面积被x轴分割成上2下3时，由于两个小矩形的宽相同，所以它们的面积比等于长的比，即此时的PS被x轴分割成上2下3的情况，结合PS的长，即可得到此时点P的纵坐标，代入抛物线的解析式中就能求得点P的坐标．
（3）由于点N的运动过程为：O→C→D，所以整体要分两个阶段考虑：
①点N在线段OC上时，首先用t表达出OM、ON的长，以OM为底、ON为高，不难得到△OMN的面积S与t的函数关系式；
②点N在线段CN上时，OM的长易知，关键是求出OM上的高，先过点N作OD的垂线NH，由∠CDO的正弦值可求出NH的表达式，以OM为底、NH为高即可求得关于S、t的函数关系式．
点评：题目的叙述和给出的图形看起来较为复杂，但通过读题后可以发现题目的难度并不大；（1）题中，利用好折叠图形的特点是关键；（2）题中，只要求出PS的长题目也就解了一大半；最后一题求的是分段函数，三角形面积的求法应熟练掌握，在对自变量进行分段时，要注意抓住“关键点”（即点N、C重合时），这在解答此类题目时是通用的方法．