题目内容
如图,在直角梯形ABCD中.AB∥CD,AB=12cm,CD=6cm,DA=3cm,∠D=∠A=90°,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t表示移动的时间(单位:秒),并且0≤t≤3.(1)证明不论t取何值,四边形QAPC的面积是一个定值,并且求出这个定值;
(2)请问是否存在这样的t,使得∠PCQ=90°?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)请你探究△PBC能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

分析:(1)连接AC,即可求出四边形QAPC的面积,与t无关.
(2)假设能为直角三角形,利用勾股定理分别求出CQ、PC、PQ的长度,然后在Rt△PCQ中再利用勾股定理列式解关于t的一元二次方程,如果所求解满足0≤t≤3t,则能,否则不可以构成直角三角形.
(3)分∠PCB与∠CPB为直角时两种情况分别求出T的值.
(2)假设能为直角三角形,利用勾股定理分别求出CQ、PC、PQ的长度,然后在Rt△PCQ中再利用勾股定理列式解关于t的一元二次方程,如果所求解满足0≤t≤3t,则能,否则不可以构成直角三角形.
(3)分∠PCB与∠CPB为直角时两种情况分别求出T的值.
解答:解:(1)连接AC,
则S四边形QAPC=S△APC+S△ACQ,
=
AP•AD+
AQ•CD,
=
[3×2t+6×(3-t)],
=
×18,
=9,
故不论t取何值,四边形QAPC的面积是一个定值,这个定值为9.
(2)过C作CE⊥AB,垂足为E,设t秒时,∠PCQ=90°,
∵CD=6cm,DA=3cm,
∴CQ2=36+t2,CP2=9+(6-2t)2,PQ2=(3-t)2+(2t)2,AE=6,AD=3,
∵∠PCQ=90°,
∴CQ2+CP2=PQ2,
即36+t2+9+(6-2t)2=(3-t)2+(2t)2,
解得t=4.
∵0≤t≤3,
∴不可构成直角三角形.
(3)能.
①过C作CE⊥AB于E,则AE=CD=6cm,当p运动到E点时,运动的时间为
=3s,此时Q正好运动到A点.
△PBC中∠CPB=90°.
②当∠PCB=90°时,即P到E点时,
过D作DG∥BC,则四边形DGBC是平行四边形,BG=DC=6cm,
故AG=AB-GB=12-6=6cm,DG=BC=
=
=3
cm,
过A作AF∥CE,
则AF=CE,CF=AE=2t,DF=DC-2t=6-2t,
AF=CE=
=
.
在直角三角形BCE中,BE2=CE2+BC2,
即(12-2t)2=(6-2t)2+32+(3
)2,
解得:t=
(符合题意).
故当t=
s,或t=3s时△PBC能否构成直角三角形.

则S四边形QAPC=S△APC+S△ACQ,
=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=9,
故不论t取何值,四边形QAPC的面积是一个定值,这个定值为9.
(2)过C作CE⊥AB,垂足为E,设t秒时,∠PCQ=90°,
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∵CD=6cm,DA=3cm,
∴CQ2=36+t2,CP2=9+(6-2t)2,PQ2=(3-t)2+(2t)2,AE=6,AD=3,
∵∠PCQ=90°,
∴CQ2+CP2=PQ2,
即36+t2+9+(6-2t)2=(3-t)2+(2t)2,
解得t=4.
∵0≤t≤3,
∴不可构成直角三角形.
(3)能.
①过C作CE⊥AB于E,则AE=CD=6cm,当p运动到E点时,运动的时间为
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6 |
2 |
△PBC中∠CPB=90°.
②当∠PCB=90°时,即P到E点时,
过D作DG∥BC,则四边形DGBC是平行四边形,BG=DC=6cm,
故AG=AB-GB=12-6=6cm,DG=BC=
DA2+AG2 |
32+62 |
5 |
过A作AF∥CE,

则AF=CE,CF=AE=2t,DF=DC-2t=6-2t,
AF=CE=
AD2+DF2 |
32+(6-2t)2 |
在直角三角形BCE中,BE2=CE2+BC2,
即(12-2t)2=(6-2t)2+32+(3
5 |
解得:t=
9 |
4 |
故当t=
9 |
4 |
点评:本题考查直角梯形的性质,直角三角形的性质,勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识,要熟记这些定理.
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