题目内容
如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x-h)2+k,所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求h、k的值;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求h、k的值;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)∵y=x2的顶点坐标为(0,0),
∴y=(x-h)2+k的顶点坐标D(-1,-4),
∴h=-1,k=-4 (3分)
(2)由(1)得y=(x+1)2-4
当y=0时,
(x+1)2-4=0
x1=-3,x2=1
∴A(-3,0),B(1,0)(1分)
当x=0时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3
∴C点坐标为(0,-3)
又∵顶点坐标D(-1,-4)(1分)
作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中,AD2=22+42=20
在Rt△AOC中,AC2=32+32=18
在Rt△CFD中,CD2=12+12=2
∵AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形;
(3)存在.由(2)知,OA=3,OC=3,则△AOC为等腰直角三角形,∠BAC=45°;
连接OM,过M点作MG⊥AB于点G,
AC=
=3
①若△AOM∽△ABC,则
=
,
即
=
,AM=
=
∵MG⊥AB
∴AG2+MG2=AM2
∴AG=MG=
=
=
OG=AO-AG=3-
=
∵M点在第三象限
∴M(-
,-
);
②若△AOM∽△ACB,则
=
,
即
=
,AM=
=2
∴AG=MG=
=
=2
OG=AO-AG=3-2=1
∵M点在第三象限
∴M(-1,-2).
综上①、②所述,存在点M使△AOM与△ABC相似,且这样的点有两个,其坐标分别为(-
,-
),(-1,-2).
∴y=(x-h)2+k的顶点坐标D(-1,-4),
∴h=-1,k=-4 (3分)
(2)由(1)得y=(x+1)2-4
当y=0时,
(x+1)2-4=0
x1=-3,x2=1
∴A(-3,0),B(1,0)(1分)
当x=0时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3
∴C点坐标为(0,-3)
又∵顶点坐标D(-1,-4)(1分)
作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中,AD2=22+42=20
在Rt△AOC中,AC2=32+32=18
在Rt△CFD中,CD2=12+12=2
∵AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形;
(3)存在.由(2)知,OA=3,OC=3,则△AOC为等腰直角三角形,∠BAC=45°;
连接OM,过M点作MG⊥AB于点G,
AC=
18 |
2 |
①若△AOM∽△ABC,则
AO |
AB |
AM |
AC |
即
3 |
4 |
AM | ||
3
|
3×3
| ||
4 |
9
| ||
4 |
∵MG⊥AB
∴AG2+MG2=AM2
∴AG=MG=
|
|
9 |
4 |
OG=AO-AG=3-
9 |
4 |
3 |
4 |
∵M点在第三象限
∴M(-
3 |
4 |
9 |
4 |
②若△AOM∽△ACB,则
AO |
AC |
AM |
AB |
即
3 | ||
3
|
AM |
4 |
3×4 | ||
3
|
2 |
∴AG=MG=
|
|
OG=AO-AG=3-2=1
∵M点在第三象限
∴M(-1,-2).
综上①、②所述,存在点M使△AOM与△ABC相似,且这样的点有两个,其坐标分别为(-
3 |
4 |
9 |
4 |
练习册系列答案
相关题目