Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中点，

∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）

（2）解：四边形MENF是菱形．

证明如下：

∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，

∴NE∥MF，NE=MF．

∴四边形MENF是平行四边形．

由（1），得BM=CM，∴ME=MF．

∴四边形MENF是菱形

（3）2：1
【解析】（3）解：

当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：

∵M为AD中点，

∴AD=2AM．

∵AD：AB=2：1，

∴AM=AB．

∵∠A=90，

∴∠ABM=∠AMB=45°．

同理∠DMC=45°，

∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．

∵四边形MENF是菱形，

∴菱形MENF是正方形．

所以答案是：2：1．

【考点精析】利用菱形的判定方法和矩形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．