题目内容

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，cot∠C=
34
．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．
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（1）当PE=CE时，求BP的长度；
（2）当点E落在线段CD上时，设BP=x，DE=y，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；
（3）连接PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与△PCE相似，试求BP的长度．
分析：（1）先根据已知证明∠APB=∠C，再根据三角函数的知识得出PE=CE时，BP的长度；
（2）延长PE与AD的延长线交于点F，根据平行线的性质即可得出与x之间的函数关系；
（3）若△APD与△PCE相似，则有两种情况：（ⅰ）∠ADP=∠C时，△APD∽△PEC，根据相似三角形的性质得出BP的长度；（ⅱ）∠APD=∠C时，△APD∽△DCP，根据相似三角形的性质得出BP的长度．
解答：精英家教网解：（1）根据已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
（方法一）∵cot∠C=
3
4
∴
BP
AB
=
3
4
（1分）
∵AB=4∴BP=3（1分）
即BP=3时，PE=CE
（方法二）∴AP∥DC
∴PC=AD=5（1分）
∴BP=3（1分）
即BP=3时，PE=CE

（2）延长PE与AD的延长线交于点F，
∵BP=x，
∵光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射，
∴PC=8-x，AF=2x（1分）精英家教网
∵DE=y，DC=AD=5，
∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴
DF
PC
=
DE
EC
（1分）
即
2x-5
8-x
=
y
5-y
（1分）
∴y=
5(2x-5)
x+3
（1分）
∵点E在线段CD上
∴函数定义域为
5
2
≤x＜8（1分）

（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC（1分）
若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时，
推出BP=2时，△APD∽△PEC；（2分）
（ⅱ）∠APD=∠C时
（法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD2=AD•PC
∵PD2=42+（5-x）2（1分）
∴16+（5-x）2=5（8-x）（1分）精英家教网
解得x1，2=
5±
21
2
，经检验，均符合题意
故x1，2=
5±
21
2
时，△APD∽△PCE；（1分）
∴当BP为2，
5±
21
2
时，△APD与△PCE相似．
（法二）过点D作DH⊥AP于点H
∵∠DAP=∠APB∴
AB
AP
=
DH
AD
，
BP
AP
=
AH
AD

∵AP=
42+x2

∴DH=
20
16+x2
，AH=
5x
16+x2

∴HP=
16+x2
-
5x
16+x2
（1分）
∵cot∠C=
a
∴
b
4(
16+x2
-
5x
16+x2
)=3•
20
16+x2
（1分）
解得x=
5+
21
2
，或x=
5-
21
2
，
故x=
5±
21
2
时，△APD∽△PCE；（1分）
∴当BP为2，
5±
21
2
时，△APD与△PCE相似．
点评：本题主要考查了梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质以及函数知识的综合应用，要根据对应角的不同进行分类求解．
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（2007•遂宁）如图，已知等腰△ABC的面积为4cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为
3
3
 cm2．
阅读理解

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相等
相等
（S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
解决问题
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