题目内容

已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,c≠0)的两个实数根,且
x1
x2
=
m
n
(m≠0,n≠0).
(1)试求用m和n表示
b2
ac
的式子;
(2)是否存在实数m和n,满足
x1
x2
=
m
n
使
b2
ac
=
6
5
成立?若存在,求出m和n的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由一元二次方程的根与系数的关系得到x1+x2=-
b
a
①,x1x2=
c
a
②,由已知
x1
x2
=
m
n
变形后代入①②,联立方程,消去x,就可得到
b2
ac
值.
(2)由于
(m+n)2
mn
=
6
5
成立,设出适当的参数,建立关于以m+n和mn为两根的新的一元二次方程,求得其△的符号后,来判定根的情况后,决定是否存在m,n的值.
解答:解:(1)由题意得,x1+x2=-
b
a
①,x1x2=
c
a
②.
x1
x2
=
m
n
,得x1=
m
n
x2③.
把③代入①,得x2=-
bn
a(m+n)

把③代入②得x22=
nc
am

消去x2,得
b2
ac
=
(m+n)2
mn


(2)若
(m+n)2
mn
=
6
5
成立,
设(m+n)2=6k,mn=5k(k>0).
则m+n=±
6k
,mn=5k.
若m,n存在,应是方程x2±
6k
z+5k=0的根.
∵△=(±
6k
2-20k=-14k<0(k>0).
∴m、n不存在.
点评:解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系:
(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0?方程有两个相等的实数根;
(3)△<0?方程没有实数根;
(4)x1+x2=-
b
a

(5)x1•x2=
c
a
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