题目内容
【题目】已知,与两个角的角平分线相交于点.
(1)如图1,若,求的度数.
(2)如图2,若,,试写出与之间的数量关系并证明你的结论.
(3)若,,,请直接用含有,的代数式表示出.
【答案】(1)140°;(2)∠BMD=(360°-∠E),证明见解析; (3)∠BMD=
【解析】
(1)过F点作FH∥AB,过E点作EG∥AB,根据平行线的传递性及平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,根据平行线的性质可证∠BFD=∠ABF+∠CDF,再根据角平分线的定义求解即可;
(2)过M点作MN∥AB,同一可得∠BMD=∠ABM+∠CDM,由(1)可得∠ABF+∠CDF与∠BED的关系,再根据∠ABM =∠ABF,∠CDM=∠CDF即可求解;
(3)根据(2)中的过程进行推论,总结规律即可.
(1)过F点作FH∥AB,过E点作EG∥AB,如图:
∵
∴FH∥CD,EG∥CD
∴∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠EDC=180°,∠ABF=∠BFH,∠HFD=∠FDC
∴∠ABE+∠BED+∠EDC=∠ABE+∠BEG+∠GED+∠EDC=360°,∠BFD=∠BFH+∠HFD=∠ABF+∠FDC
∴∠ABE+∠EDC =360°-∠BED
∵与两个角的角平分线相交于点.
∴∠ABF+∠FDC=(∠ABE+∠EDC)=(360°-∠BED)
∵∠BED=80°
∴∠BFD=∠ABF+∠FDC==140°
(2)∠BMD=(360°-∠E),证明:
过M点作MN∥AB,如图:
∵
∴MN∥CD,
∴∠ABM=∠BMN,∠NMD=∠MDC
∴∠BMD=∠BMN+∠NMD=∠ABM+∠MDC
由(1)得:∠ABF+∠FDC=(∠ABE+∠EDC)=(360°-∠E)
∵∠ABM =∠ABF,∠CDM=∠CDF
∴∠BMD=∠ABM+∠MDC=(∠ABF+∠FDC)=(360°-∠E)
(3)由(2)得:∠BMD=∠ABM+∠MDC,由(1)得:∠ABF+∠FDC=(360°-∠BED)
∵,
∴∠BMD=∠ABM+∠MDC=(∠ABF+∠FDC)=(360°-∠BED)=