题目内容
如图,已知在三角形ABC中,角BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,求证:BN=CM.
分析:连接PB,PC,根据角平分线性质求出PM=PN,根据线段垂直平分线求出PB=PC,根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB,即可得出答案.
解答:证明:连接PB,PC,
∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,
∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°,
∵P在BC的垂直平分线上,
∴PC=PB,
在Rt△PMC和Rt△PNB中,
,
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),
∴BN=CM.
∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,
∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°,
∵P在BC的垂直平分线上,
∴PC=PB,
在Rt△PMC和Rt△PNB中,
|
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),
∴BN=CM.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,线段垂直平分线性质,角平分线性质等知识点,主要考查学生运用定理进行推理的能力.
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