Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0．
（1）若原方程有实数根，求k的取值范围；
（2）设原方程的两个实数根分别为x₁，x₂．
①当k取哪些整数时，x₁，x₂均为整数；
②利用图象，估算关于k的方程x₁+x₂+k-1=0的解．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程kx²+2x+2-k=0有实数根，
∴，
∴，
∴当k≠0时，一元二次方程kx²+2x+2-k=0有实数根．

（2）①由求根公式，得．
∴，x₂=-1，
要使x₁，x₂均为整数，必为整数，
所以，当k取±1或±2时，x₁，x₂均为整数；
②将，x₂=-1代入方程x₁+x₂+k-1=0中，得．
设，y₂=k-1，并在同一平面直角坐标系中分别画出与y₂=k-1的图象（如图所示）．
由图象可得，关于k的方程x₁+x₂+k-1=0的解为k₁=-1，k₂=2．

分析：（1）根据根的判别式列出不等式，变形为完全平方式知△≥0，二次项系数≠0，得出k的取值范围．
（2）利用求根公式求出一元二次方程的两根，两根均为整数得出k的整数值，把两根代入得出关于k的方程，转化成一次函数和反比例函数作出图象，找出交点坐标．
点评：考查一元二次方程根的判别式及求根公式，一次函数和二次函数的作图．