题目内容
【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【答案】（1）①△BPD≌△CPQ；②3cm/s；（2）24秒，AC
【解析】
对于（1）①，根据题意求出PC、BD，结合已知确定PC与BD、BP与CQ的数量关系，结合等腰三角形的性质即可解答；
对于（1）②，由题意知BP≠CQ，要使△BPD与△CQP全等，则BP=PC，CQ=BD=6cm，从而求出点Q的运动速度；
对于（2），结合P、Q两点的运动速度可知：当点P与点Q相遇时，则点Q比点P多走AB+AC的长度，结合相遇问题中的基本公式列方程求解，即可确定两点第一次相遇时所用的时间，求出此时点P的运动路程；
求出△ABC的周长，结合点P从点B出发运动，即可分析两点第一次相遇时在三角形的哪一条边上.
解：（1）①△BPD≌△CPQ
∵t=1
∴BP=CQ=2×1=2cm
∵AB=12cm，点D为AB的中点
∴BD=6cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，∴PC=8-2=6cm，∴PC=BD．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CPQ中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等
∴BP≠CQ
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C
∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm
∴点P，点Q运动的时间为4÷2=2s
∴Q点的运动速度为6÷2=3（cm/s）
（2）24秒，AC
设经过t秒后，点P与点Q第一次相遇．
由题意：3t-2t=24，∴t=24，∴24×3=72．
∵△ABC的周长为32，∴点P与点Q第一次相遇在AC边上．
故答案为：24秒，AC．
