Question

如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A.

（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）∠ABC =60°．

试题分析：（1）连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO,则∠BCO=∠BAO=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线平分对角,所以点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC计算．
试题解析：（1）连结OA、OB、OC、BD,如图,

∵AB与⊙O切于A点,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BA=BC,
在△ABO和△CBO中
,
∴△ABO≌△CBO（SSS）,
∴∠BCO=∠BAO=90°,
∴OC⊥BC,
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵△ABO≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD平分∠ABC,DA=DC,
∴点O在BD上,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠BOC=2∠ODC,
同理：∠BOC=2∠OBC,
∵∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°．