Question

如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m²）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C₁：于点A、B，交抛物线C₂：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．

【猜想与证明】

填表：

m	1	2	3

由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=　  　．请证明你的猜想．

【探究与应用】

（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　  　；

（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；

【联想与拓展】

如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C₂于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C₁于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　  　．

 

 

Answer 1

【答案】

猜想与证明：

填表为：

m	1	2	3

。理由见解析

探究与运用：

（1）。

（2）27。

联想与拓展

。

【解析】

试题分析：猜想与证明：

当m=1时，1=x²，1=x²，∴x=±2，x=±3。∴AB=4，CD=6。∴。

当m=2时，4=x²，4=x²，∴x=±4，x=±6。∴AB=8，CD=12。∴。

当m=3时，9=x²，9=x²，∴x=±6，x=±9。∴AB=12，CD=18。∴。

探究与证明：

（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论：

（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论。

解：猜想与证明：

填表为：

m	1	2	3

对任意m（m＞0）均有。证明如下：

将y=m²（m＞0）代入，得x=±2m，

∴A（﹣2m，m²），B（2m，m²）。∴AB=4m。

将y=m²（m＞0）代入，得x=±3m，

∴C（﹣3m，m²），D（3m，m²）。∴CD=6m。

∴。

∴对任意m（m＞0）均有。

探究与运用：

（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP。

∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°。∴△AOB与△CQD的高相等。

∵，∴AB=CD。

∵S_△AOB=AB•PO，S_△CQD=CD•PQ，∴。

（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图，

∴PO=PB=m²，AB=2OP。

∴m²=m⁴。∴4m²=m⁴，解得m₁=0，m₂=﹣2，m₃=2。

∵m＞0，∴m=2。

∴OP=4，AB=8，PD=6，CD=12。

∴S_△AOB==16，S_△CQD==24。

∴S_△CQD﹣S_△AOB=24﹣16=8。

当△CQD是等腰直角三角形时，如图，

∴PQ=PO=PD=m²，CD=2QP。

∴m²=m⁴。∴9m²=m⁴，∴m₁=0，m₂=﹣3，m₃=3。

∵m＞0，∴m=3。

∴OP=6，AB=12，PQ=9，CD=18。

∴S_△AOB==54，S_△CQD==81。

∴S_△CQD﹣S_△AOB=81﹣54=27。

联想与拓展：

由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m²），D（3m，m²），

∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m。

∴y=（﹣2m）²，y=（3m）²，∴y=m²，y=m²。∴E（﹣2m， m²），F（3m， m²）。

∴AE=m²﹣m2=m²，DF=m²﹣m²=m²。

∴S_△AEM=×m²•2m=m³，S_△DFM=×m²•3m=m³。∴。