Question

如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，∠B=

36°

；∠C=

72°

．
（2）如图2，M为线段BC上一动点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC于点N，E，请写出BN、CE、CD之间的数量关系，并证明；
（3）当M是BC中点时，在（2）的条件下，

CD

CE

的值是

2

．（不需证明）

Answer 1

分析：（1）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，∠C=∠ADC，∠C=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC=2∠B，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求出∠B，再求出∠C即可；
（2）根据角的度数求出∠BAD=∠CAD，然后利用“角边角”证明△ANH和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=AE，然后分别表示出BN、CD、CE，观察不难求解；
（3）M为BC的中点时，过点C作CF∥AB交NE于F，根据两直线平行，内错角相等求出∠B=∠MCF，根据两直线平行，同位角相等求出∠ANE=∠CFE，然后根据“角边角”证明△BMN和△CMF全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CF，根据（2）求出∠ANE=∠E，然后求出∠CFE=∠E，根据等角对等边的性质求出CE=CF，然后代入（2）的结论计算即可得解．

解答：解：（1）∵DB=DA，
∴∠B=∠BAD，
∴DA=AC，
∴∠C=∠ADC，
∵BA=BC，
∴∠C=∠BAC，
在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=∠BAC=2∠B，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即2∠B+∠B+2∠B=180°，
解得∠B=36°，
∴∠C=2∠B=2×36°=72°；

（2）CD=BN+CE．
理由如下：在△ACD中，∠CAD=180°-72°×2=36°，
∵∠B=∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∵在△ANH和△AEH中，

∠BAD=∠CAD AH=AH ∠AHN=∠AHE=90°

，
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN=AE，
又∵AB=BC，
∴BN=AB-AN=BC-AE，
由图可知，CE=AE-AC，
又∵CD=BC-BD=BC-AD=BC-AC，
∴CD=BN+CE；

（3）如图，M为BC的中点时，BM=CM，
过点C作CF∥AB交NE于F，
则∠B=∠MCF，∠ANE=∠CFE，
∵在△BMN和△CMF中，

∠B=∠MCF BM=CM ∠BMN=∠CME

，
∴△BMN≌△CMF（ASA），
∴BN=CF，
由（2）可知△ANH≌△AEH，
∴∠ANE=∠E，
∴∠CFE=∠E，
∴CE=CF，
在（2）的条件下，CD=BN+CE=CF+CE=CE+CE=2CE，
∴

CD

CE

=2．
故答案为：2．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据度数的相等求出相等的角是本题最大的特点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．