Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；

（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值和△BNC的面积；若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3；（2）MN=﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当m=时，△BNC的面积最大为 ．

【解析】

（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么的面积可表示为：，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于 的函数关系式，即可得出结论．

解：

(1)设

则

，，，

，

(2)设直线BC的解析式为

则，

，，

∴，

已知点M的横坐标为，

∴，

，

(3)

如图可知：，

=

∴当时,的面积最大,最大值为.