Question

已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）（1，2）（3）存在，（ ，）

解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵，∴对称轴为x=1。
令，解得x₁=3，x₂=－1，∴C（－1，0）。
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，

由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。
设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得。
∴直线AB解析式为y=－x＋3。
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）。
（3）结论：存在。
如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，

则ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x．


∵P（x，y）在抛物线上，∴，代入上式得：
。
∴当x= 时，S_△ABP取得最大值。
当x=  时，，∴P（， ）。
∴在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大，P点的坐标为（ ，）。
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标。
（3）求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标。