题目内容

（2004•十堰）在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是线段AB上一动点（与点A、B不重合），Q是线段OA上一动点（与点O、A不重合），C为OQ的中点．
（1）求直线AB的解析式：
（2）过点C作AB的垂线，垂足为D，设OC=x，CD=d，写出d与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）当OQ=3时，以OQ为直径作圆C，试判断直线AB与圆C的位置关系；
（4）当PQ与x轴垂直时△OPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段OQ的长的取值范围：若不可能，请说明理由．

【答案】分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0），B（0，3）的坐标代入利用待定系数法求得，y=-x+3；
（2）先证明△ACD∽△ABO，利用其成比例线段可求得d=-x+（0＜x＜4）；
（3）当OQ=3时，圆C的半径为，即x=此时圆心C到直线AB的距离d=，所以d=x，即直线AB与圆C相切；
（4）不仿设圆C与直线AB的切点为M，当PQ不与X轴垂直时，要使△OPQ为直角三角形，须使∠OPQ=90°；
当OQ＜3时，圆C与直线相离，∠OPQ＜90°，
当OQ=3时，圆c与直线相切，
P点与M点重合．∠OPQ=90°，
当3＜OQ＜4时，圆c与线段AB有两个交点满足题设条件．所以当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），（1分）
将A（4，0），B（0，3）的坐标代入有：?，
∴y=-x+3；（2分）

（2）△ACD∽△ABO
∴
∴d=，
即：d=-x+（0＜x＜4）；（5分）

（3）当OQ=3时，圆C的半径为（2分），即x=，（3分）
此时圆心C到直线AB的距离d=，
∴d=x，即直线AB与圆C相切；（8分）

（4）不妨设圆C与直线AB的切点为M，当PQ不与X轴垂直时，要使△OPQ为直角三角形，须使∠OPQ=90°，（9分）
当OQ＜3时，圆C与直线相离，∠OPQ＜90°，（10分）
当OQ=3时，圆c与直线相切，P点与M点重合．∠OPQ=90°，（11分）
当3＜OQ＜4时，圆c与线段AB有两个交点满足题设条件．
∴当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．（12分）
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和待定系数法求函数解析式，并会用相似三角形的性质求得对应线段之间的关系，熟练掌握直线与圆的位置关系．
试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
练习册系列答案
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