Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）连结ED、FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠ABC=∠CDA，AB∥CD∴∠BAC=∠DCA，

∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，

∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC

∴∠ABE=∠CDF，

∴△ABE≌△CDF （ASA），

∴AE=CF

（2）是平行四边形；

连接BD交AC于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO

∵AE=CF，

∴AO﹣AE=CO﹣CF．

即EO=FO．

∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

【解析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC=∠DFA，然后再证∠ACB=∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE=CF；（2）连接BD交AC于O，则可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以OE=OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．