Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为边BC上的一点，连接AD，过点C作AD的垂线，交过点B与边AC平行的直线于点E，CE交边AB于点F.

（1）求∠EBF的度数；

（2）求证：△ACD≌△CBE;

（3）若AD平分∠BAC，判断△BEF的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠EBF=45°；（2）证明见详解；（3）△BEF是等腰三角形.

【解析】

（1）运用等腰三角形的性质与平行线的性质即可得出结论；

（2）根据“角边角”可证明出△ACD≌△CBE；

（3）根据△ACD≌△CBE可得∠E=∠ADC=67.5°，由（1）可知∠EBF=45°，即可得出∠BFE=67.5°，则∠E=∠BFE，即可证明得△BEF是等腰三角形.

（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB=45°，

∵BE∥AC，

∴∠CBE+∠ACB=180°，

∴∠CBE=90°，

∴∠EBF=45°.

（2）证明：∵AD⊥CE，

∴∠ACE+∠CAD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵AC=BC，∠ACB=∠CBE=90°，

∴△ACD≌△CBE；

（3）解：△BEF是等腰三角形，

理由如下：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=22.5°，

∵△ACD≌△CBE，

∴∠E=∠ADC=67.5°，

由（1）可知，∠EBF=45°，

∴∠BFE=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠E=∠BFE，

∴△BEF是等腰三角形.