Question

【题目】如图，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上有一动点P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此时抛物线的解析式及点P的坐标；

（3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=4x+4；（2）y=-x2+x+4，P（1，）；（3）存在这样的点Q，使△ABQ为等腰三角形．Q1（1，），Q2（1，0），Q3（1，），Q4（1，﹣）．

【解析】分析：（1）将点A、B的坐标代入直线解析式，求出k、b的值，继而得出直线的解析式；

（2）连接BC，则BC与对称轴的交点即是P点的位置，根据PA+PB的最小值为5，可求出OC，利用待定系数法可求出抛物线解析式，直线BC解析式进而求出点P的坐标；

（3）设存在这样的点Q，其坐标为（1，y），然后分三种情况讨论，①QA=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分别求出y的值后即可得出点Q坐标．

详解：(1)将点A(1，0)，点B(0，4)代入直线y=kx+b

得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=4x+4；

(2)∵点A、点C关于抛物线的对称轴对称，故PA+PB的最小值为线段BC的长，

∴BC=5，

在Rt△BOC中，BC=5，BO=4，

∴OC=，

∴点C的坐标为(3，0)，

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x3)，

将点B(0，4)代入得：a=，

∴抛物线的解析式为：y=(x+1)(x3)=x2+x+4；

设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点B(0，4)，点C(3，0)代入可得，

，

解得：，

故直线BC的解析式为：y=x/span>+4，

又∵抛物线的对称轴为x=1，

∴当x=1时，y=，

∴点P的坐标为(1，).

(3)存在这样的点Q，使△ABQ为等腰三角形.

设Q(1，y)，

有三种情况：

①当QA=QB时，则有12+(y4)2=(11)2+y2，

解得：y=，即Q(1，)；

②当BA=BQ时，可知Q(1，0)，Q(1，8)(不合题意，舍去)；

③当AB=AQ时，Q(1，)或Q(1，).

所以满足条件的Q有四个：Q1（1，），Q2（1，0），Q3（1，），Q4（1，﹣）．