题目内容

如图，已知抛物线y=-3x²-（2c-b）x+a²，其中a、b、c是一个直角三角形的三边的长，且a＜b＜c，又知这个三角形两锐角的正弦值分别是方程25x²-35x+12=0的两个根．
（1）求a：b：c；
（2）设这条抛物线与x轴的左、右交点分别是M、N，与y轴的交点为T，顶点为P，求△MPT的面积（用只含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，如果△MPT的面积为9，问抛物线上是否存在异于点P的点Q，使得△QMT的面积与△MPT的面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在请说明理由．

解：（1）∵a、b、c是一个直角三角形的三边的长，且a＜b＜c，∴c为斜边，
解方程25x²-35x+12=0，得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴a：b：c=3：4：5；

（2）过P点作PQ⊥x轴，垂足为Q，由（1）可知b= $\text{[math]}$ a，c= $\text{[math]}$ a，
则y=-3x²-（2c-b）x+a²=-3x²-2ax+a²，
∴由二次函数的性质，得P（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ a²）、M（-a，0）、T（0，a²），
∴S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO
= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ +a）× $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ a²+a²）× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×a×a²= $\text{[math]}$ a³；

（3）存在．由已知S_△MPT=9，即 $\text{[math]}$ a³=9，解得a=3，∴M（-3，0）、T（0，9），
直线MT解析式为y=3x+9，抛物线解析式为y=-3x²-6x+9，
过P作PQ∥MT，交抛物线于点Q，

设直线PQ解析式为y=3x+m，将P（-1，12）代入，得y=3x+15，
联立 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，∴Q（-2，9），
将直线PQ向下平移12个单位，得y=3x+3，联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
综上所述Q（-2，9）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由已知可判断c为斜边，解方程得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可求a：b：c；
（2）过P点作PQ⊥x轴，垂足为Q，用a表示P、M、T三点坐标，根据S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO求面积；
（3）存在．根据已知面积求a的值，确定抛物线解析式及M、T两点坐标，得出直线MT解析式，过P作PQ∥MT，交抛物线于点Q，求直线PQ解析式，与抛物线解析式联立，可求Q点坐标，向下平移直线PQ，可求Q点的另外两个坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，利用割补法求三角形面积，利用平行线求面积相等的三角形顶点坐标．