题目内容
【题目】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即当n为非负整数时,若,则<x>=n,如<0.46>=0,<3.67>=4。给出下列关于<x>的结论:
①<1.493>=1;
②<2x>=2<x>;
③若,则实数x的取值范围是;
④当x≥0,m为非负整数时,有;
⑤。
其中,正确的结论有 (填写所有正确的序号)。
【答案】①③④。
【解析】
①根据定义,∵,∴<1.493>=1。结论正确。
②用特例反证:∵<1.3>=1,<2×1.3>=<2.6>=3,∴<2×1.3>≠2<1.3>。
∴<2x>=2<x>不一定成立。结论错误。
③若,则。
∴实数x的取值范围是。结论正确。
④设2013x=k+b,k为2013x的整数部分,b为其小数部分,
1)当0≤b<时,<2013x>=k,
m+2013x=(m+k)+b,m+k为m+2013x的整数部分,b为其小数部分,< m+2013x>=m+k,
∴< m+2013x >=m+<2013x>。
2)当b≥时,<2013x>=k+1,
则m+2013x=(m+k)+b,m+k为m+2013x的整数部分,b为其小数部分,< m+2013x >=m+k+1,
∴< m+2013x >=m+<2013x>
综上:当x≥0,m为非负整数时,< m+2013x >=m+<2013x>成立。结论正确。
⑤用特例反证::<0.6>+<0.7>=1+1=2,而<0.6+0.7>=<1.3>=1,
∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>。∴不一定成立。结论错误。
综上所述,正确的结论有①③④。
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