Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2

5

，求⊙O的半径；
（3）若在⊙O上存在唯一点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OB，求出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°，∠OBP=∠OPB，推出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，根据勾股定理得出AB²=OA²-OB²=5²-r²，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，根据AC=AB得出方程5²-r²=（2

5

）²-（5-r）²，求出即可；
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE=

1

2

52-r2

．根据圆O要与直线MN有唯一交点，得出方程

1

2

52-r2

=r，求出即可．

解答：解：（1）AB=AC．理由如下：如图1，
连接OB，
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB．
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC．

（2）如图2，
延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5-r．
又∵PC=2

5

，
∴AB²=OA²-OB²=5²-r²，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
∵由（1）知AC=AB，
∴5²-r²=（2

5

）²-（5-r）²，
解得：r=3，
即⊙O的半径是3；

（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=

1

2

AC=

1

2

AB=

1

2

52-r2

．
又∵圆O要与直线MN有唯一交点，
∴OE=

1

2

52-r2

=r，
∴r=

5

，
即⊙O的半径是

5

．

点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．