题目内容

如图,已知直线L与⊙O相切于点A,直径AB=6,点P在L上移动,连接OP交⊙O于点C,连接BC并延长BC交直线L于点D.
精英家教网(1)若AP=4,求线段PC的长;
(2)若△PAO与△BAD相似,求∠APO的度数和四边形OADC的面积(答案要求保留根号).
分析:(1)在Rt△OAP中,根据勾股定理可将OP的长求出,减去半径OC的长即为PC的长;
(2)如图,根据△PAO∽△BAD,可知∠2=∠APO,再根据∠1=2∠2,利用三角形的内角可将∠APO的度数求出;四边形OADC的面积可通过△ABD与△BOC的面积之差求得,也可由△OAP与△CDP的面积之差求得.
解答:精英家教网解:(1)∵l与⊙○相切于点A,
∴∠A=90°
∴OP2=OA2+AP2
∵OA=OC=
1
2
AB=3,AP=4
∴OP2=32+42
∴OP=5
∴PC=5-3=2;

(2)∵△PAO∽△BAD,且∠1>∠2,∠A=∠A=90°
∴∠2=∠APO.
又∠1=2∠2,∠A=90°,
∴∠1=2∠APO,
∴∠1+∠APO=90°
即3∠APO=90°
∴∠APO=30°
在Rt△BAD中,∠2=∠APO=30°
∴AD=6tan30°=6×
3
3
=2
3

方法一:过点O作OE⊥BC于点E
∵∠2=30°,BO=3
∴OE=
3
2
,BE=3×cos30°=
3
3
2

∴BC=2BE=3
3

∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=
1
2
AB×AD-
1
2
BC×OE
=
1
2
×6×2
3
-
1
2
×3
3
×
3
2

=
15
4
3


方法二:在Rt△OAP中,AP=6tan60°=3
3
,OP=2OA=6
∴DP=AP-AD=3
3
-2
3
=
3
,PC=OP-OC=6-3=3
过点C作CF⊥AP于F
∵∠CPF=30°
∴CF=
1
2
PC=
3
2

∴S四边形OADC=S△OAP-S△CDP=
1
2
AP×OA-
1
2
DP×CF
=
1
2
3
3
×3-
3
×
3
2

=
15
3
4
点评:此题考查了勾股定理的计算,相似三角形的性质与判定,不规则图形的面积的计算等知识,综合性比较强,其中不规则图形的面积可通过几个规则图形面积相加或相减求得.
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