题目内容
【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB= 
，
∴AP= 
．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
在△QAP和△PBC中，
，
∴△QAP∽△PBC，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
（2）
解：由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
当EP﹣PF=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PB﹣AP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
当PF﹣EP=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴AP﹣PB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的长为1或3．
（3）
解：①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，
在△AEP和△ABC中，
，
∴△AEP∽△ABC，
∴ 
．
设AP=x，则EP=BP=4﹣x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2 
，
∴ 
．
解得 
．
②若CE与QF在同一直线上，如图3，
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．
【解析】（1）做题首先要画示意图，如图．由折叠知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，进而可由AB边的关系知，若E平分FP，则BP= 
，AP= 
．由已知分析易得CP⊥QP，则△QAP∽△PBC，即由边之间的成比例得关于AQ的方程，解出即可．（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2，但有两种可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到两个关系式，易得结论．（3）“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者，思考点P运动即折纸特点，QF不能与A共线．当CE与QF共线时，P点恰为AB中点，如图，两线段都在CD上．当CE与A共线时，即连接对角线AC，CE在AC上，此时△AEP∽△ABC，进而AP的长易得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换（折叠问题）的相关知识，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等，以及对相似三角形的性质的理解，了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
