Question

关于x的一元二次方程（1-2k）x²-2（k+1）x-1=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且

1

x1

+

1

x2

=-6，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据跟的判别式△=b²-4ac来确定方程的根的情况；
（2）由根与系数的关系x₁+x₂=-

b

a

、x₁x₂=

c

a

来求k的值．

解答：解：（1）（1-2k）x²-2（k+1）x-1=0．
a=1-2k，b=-2（k+1），c=-1，
∴△=b²-4ac
=4（k+1）²-4×（-1）×（1-2k）
=4k²+8＞0，
∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）∵若方程的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

2k+2

1-2k

，x₁x₂=-

1

1-2k

，
又∵

1

x1

+

1

x2

=-6，
∴

2k+2 1-2k

-1 1-2k

=-6，
解得：k=2．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．难度不大．