题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2经过点A(2,1).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出函数的图像,写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标;
(3)抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△OAB面积的一半,若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2;(2)B的坐标为(-2,1);(3)C(
,
)或(
,
)或(
,
)或(
,
),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半,见解析.
【解析】
(1)把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值,从而得解;
(2)根据关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同解答;
(3)根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离,再分①点C在AB下面,②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标,然后代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点C的坐标.
解:(1))∵抛物线y=ax2经过点A(2,1),
∴4a=1,解得a=,
∴这个函数的解析式为y=x2;
(2)∵点A(2,1),关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同,
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(-2,1);
(3)如图:
∵点A(2,1),B(-2,1),
∴AB=2-(-2)=2+2=4,S△OAB=×4×1=2,
假设存在点C,且点C到AB的距离为h,
则S△ABC=ABh=
×4h,
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半,
∴×4h=
×2,解得h=
,
①当点C在AB下面时,点C的纵坐标为,
此时,解得
,
,
则此时C的坐标为(,
)或(
,
),
②点C在AB的上面时,点C的纵坐标为,
此时,解得
,
,
则此时C的坐标为(,
)或(
,
),
综上,存在点C(,
)或(
,
)或(
,
)或(
,
),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半.
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