题目内容

【题目】已知抛物线yax2经过点A(21)

(1)求这个函数的解析式;

(2)画出函数的图像,写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标;

(3)抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△OAB面积的一半,若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2;(2B的坐标为(-21);(3C)或()或()或(),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半,见解析.

【解析】

1)把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值,从而得解;

2)根据关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同解答;

3)根据三角形的面积公式求出点CAB的距离,再分①点CAB下面,②点CAB的上面两种情况求出点C的纵坐标,然后代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点C的坐标.

解:(1))∵抛物线y=ax2经过点A21),
4a=1,解得a=
∴这个函数的解析式为y=x2

2)∵点A21),关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同,

∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(-21);

3)如图:

∵点A21),B-21),
AB=2--2=2+2=4SOAB=×4×1=2

假设存在点C,且点CAB的距离为h

SABC=ABh=×4h

∵△ABC的面积等于OAB面积的一半,

×4h=×2,解得h=

①当点CAB下面时,点C的纵坐标为

此时,解得

则此时C的坐标为()或(),

②点CAB的上面时,点C的纵坐标为

此时,解得

则此时C的坐标为()或(),

综上,存在点C)或()或()或(),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半.

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