Question

【题目】已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；

(3)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）B的坐标为（-2，1）；（3）C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，见解析.

【解析】

（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值，从而得解；

（2）根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；

（3）根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，再分①点C在AB下面，②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标．

解：（1））∵抛物线y=ax2经过点A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴这个函数的解析式为y=x2；

（2）∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，

∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）；

（3）如图：

∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，

假设存在点C，且点C到AB的距离为h，

则S△ABC=ABh=×4h，

∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，

∴×4h=×2，解得h=，

①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，

此时，解得，，

则此时C的坐标为（，）或（，），

②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，

此时，解得，，

则此时C的坐标为（，）或（，），

综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．