Question

（1）如图，已知：P是正方形ABCD的CD边上一点，∠BAP的平分线交BC于Q，求证：AP=DP+BQ．
（2）若（1）中的点P位置在DC的延长线上，其他条件不变，结论是否仍然成立？请简单说明理由．

Answer 1

解：（1）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，
∴∠EAD=∠QAB，∠EDA=∠ABQ=90°，∠E=∠AQB，DE=BQ，
∴AB与AD重合，∠ADE=∠B=90°
∵AB=AD，
∴B、D两点重合，
∴点E，D，P共线，
又∵∠AQB=∠DAQ，
而∠BAP的平分线交BC于Q，
∴∠AQB=∠EAP，
∴∠E=∠PAE，
∴PE=PA，
∴PA=DP+BQ；

（2）PA=DP+BQ仍然成立．理由如下：
把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，如图，
证明的方法和上面一样．
分析：（1）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，根据旋转的性质得∠EAD=∠QAB，∠EDA=∠ABQ=90°，∠E=∠AQB，DE=BQ，得到点E，D，P公线，而∠AQB=∠DAQ，∠BAP的平分线交BC于Q，所以∠AQB=∠EAP，则∠E=∠PAE，得到PE=PA，即可得到PA=DP+BQ；
（2）PA=DP+BQ仍然成立．把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，证明的方法和上面一样．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质．