题目内容
【题目】已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax（x﹣2）的图象交于点C．
（1）求a、b的值
（2）求线段PC长的最大值；
（3）若△PAC为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）a=1，b=3；（2）当m=
时，PC有最大值，最大值为
．（3）若△PAC为直角三角形，点P的坐标为P1（2，6），P2（3，7）．
【解析】
试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得b，根据待定系数法，可得a；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AP，CP的长，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解：（1）∵A（﹣1，b）在直线y=x+4上，
∴b=﹣1+4=3，
∴A（﹣1，3）．
又∵A（﹣1，3）在抛物线y=ax（x﹣2）上，
∴3=﹣a（﹣1﹣2），
解得：a=1．
（2）设P（m，m+4），则C（m，m2﹣2m）．
∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）
=﹣m2+3m+4
=﹣（m﹣）2+，
∵（m﹣）2≥0，
∴﹣（m﹣）2+≤．
∴当m=时，PC有最大值，最大值为．
（3）如图
，
P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），
AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．
①当AP2+AC2=PC2时，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，
3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0
化简，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，
解得m=﹣1（不符合题意，舍），m=2，
当m=2时，m+4=6，即P（2，6）；
②当AP2=AC2+PC2时，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，
化简，得
（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．
解得m=4（不符合题意，舍），m=﹣1（不符合题意，舍），m=3，
当m=3时，m+4=7，
即（3，7），
综上所述：若△PAC为直角三角形，点P的坐标为P1（2，6），P2（3，7）．
