题目内容
【题目】如图，已知等腰直角三角形
中，
、
、
分别为边
、
、
的中点，点
为斜边所在直线上一动点，且三角形
为等腰直角三角形（
，、、
呈逆时针）．
如图
点在边上，判断
和
的数量和位置关系，请直接写出你的结论．
如图
点在
点左侧时；如图
，点在
点右侧．其他条件不变，中结论是否仍然成立，并选择图或图的一种情况来说明理由．
在图中若
，连接
，请猜测与的数量关系，即
________．（用含
的三角函数的式子表示）
【答案】（1）AN=MF且AN⊥MF；（2）成立，证明详见解析；（3）（sinα+cosα）．
【解析】
（1）连接DF，则DF就是△ABC的中位线，即可得△BDF是等腰直角三角形，所以BD=DF=AD，由∠AND+∠FDN=90°，∠FDM+∠FDN=90°可得∠AND=∠FDM，在△AND和△FDM中，DN=DM，∠AND=∠FDM，AD=DF，利用SAS判定△AND≌△FDM，根据全等三角形的性质可得AN=FM，∠DAN=∠DFM=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得AN⊥MF；（2）成立，选择图②，类比（1）的方法即可证明；（3）证明△DAN≌△EAN，得出EN=DN，进一步得出DM=EN，作DH⊥BC于H，由∠DFM=45°，证得△DHF是等腰直角三角形，得出FH=DH，然后解直角三角形得出MH=DMsinα，DH=DMcosα，从而得出MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN．
（1）AN=MF且AN⊥MF；
（2）成立．
连接DF，NF，如图2①，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF∥AC，DF=
AC=AB=AD，
∴∠BDF=90°，∠MFD=∠C=45°，
∴∠MDN=∠BDF，
∴∠FDM=∠ADN，
在△FDM和△ADN中，
，
∴△FDM≌△ADN（SAS），
∴FM=AN，∠DAN=∠MFD=45°．
∴AN是∠BAC的平分线，
∴AN⊥BC，
即AN⊥MF；
（3）由（2）可知：∠DAN=∠EAN，如图2②，
∵D、E分别为边AB、ACC的中点，AB=AC，
∴AD=AE，
在△DAN和△EAN中，
，
∴△DAN≌△EAN（SAS），
∴EN=DN，
∵DM=DN，
∴DM=EN，
作DH⊥BC于H，
∵∠DFM=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴FH=DH，
∵MH=DMsinα，DH=DMcosα，
∴FH=DH=DMcosα，
∴MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN，
即MF=（sinα+cosα）EN；
故答案为：（sinα+cosα）．
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案
