题目内容

【题目】如图,在四边形ABCD中,ABCD,ABC=ADC,DE垂直于对角线AC,垂足是E,连接BE.

(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;

(2)若点E是AC的中点,判断BE与AC的位置关系,并说明理由;

(3)若ABE是等边三角形,AD=,求对角线AC的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)BEAC;(3)

【解析】

试题分析:(1)根据平行四边形的性质得出ABC+DCB=180°,推出ADC+BCD=180°,根据平行线的判定得出ADBC,根据平行四边形的判定推出即可;

(2)求出AD=DC,根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形,根据等腰三角形的性质得出即可;

(3)根据等边三角形的性质得出AB=AE,BAC=60°,求出DCE=BAE=60°,求出CD=2EC,设CE=x,则AB=DC=AE=2x,根据勾股定理得出方程,求出x,即可得出答案.

试题解析:(1)证明:ABCD,∴∠ABC+DCB=180°,∵∠ABC=ADC,∴∠ADC+BCD=180°,ADBC,ABCD,四边形ABCD是平行四边形;

(2)解:BEAC,理由是:DEAC,E为AC的中点,AD=DC,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是菱形,AB=BC,E为AC的中点,BEAC;

(3)解:∵△ABE是等边三角形,AB=AE,BAC=60°,ABDC,∴∠DCE=BAE=60°,∵∠DEC=90°,∴∠CDE=30°,CD=2EC,设CE=x,则AB=DC=AE=2x,由勾股定理得:DE2=AD2﹣AE2=DC2﹣CE2,即,解得:x=(负数舍去),即CE=,AE=AC=

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