题目内容

已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点(不重合),且∠BEC=∠CFA=∠a

(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面问题:
①若∠BCA=90°,∠a=90°,请在图1中补全图形,并证明:BE=CF,EF=|BE-AF|;
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件
∠α+∠BCA=180°
∠α+∠BCA=180°
,使①中的两个结论仍然成立;
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠a=∠BCA,请写出EF、BE、AF三条线段数量关系(不要求证明).
分析:(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;
(2)求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可.
解答:
(1)①如图,E点在F点的左侧,∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠BEC=∠AFC=90°,
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,
∴∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中
∠EBC=∠ACF
∠BEC=∠AFC
BC=AC

∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=CF-CE=BE-AF,
当E在F的右侧时,同理可证EF=AF-BE,
∴EF=|BE-AF|;
②∠α+∠ACB=180°时,①中两个结论仍然成立;
证明:∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,
∴∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中
∠EBC=∠ACF
∠BEC=∠AFC
BC=AC

∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=CF-CE=BE-AF,
当E在F的右侧时,同理可证EF=AF-BE,
∴EF=|BE-AF|;

(2)EF=BE+AF.
理由是:∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA,
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,
∴∠EBC=∠ACF,
在△BEC和△CFA中,
∠EBC=∠FCA
∠BEC=∠CFA
BC=CA

∴△BEC≌△CFA(AAS),
∴AF=CE,BE=CF,
∵EF=CE+CF,
∴EF=BE+AF.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,本题比较典型,证明过程类似.
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