Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比．

（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为　　．

（2）已知点C（4，0），在函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．

（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围　　（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) D（1，﹣2）;(3) 1＜m＜3或m＞5．

【解析】试题分析：（1）分别过点B作坐标轴的垂线，构成的矩形即是△OAB的投影矩形；（2）分类讨论，当点O,D,C都在投影矩形的边上时，点D在第四象限，当点D，C在投影矩形的边上，O在投影矩形内部时，点D在第三象限，然后利用投影比的定义求解；（3）点E，F是两个定点，点P是直线上的动点，根据点P的位置的不同，所构造的投影矩形也不同，所以应分三种情况讨论。

试题解析：（1）在图2中

过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则矩形OCBD为△OAB的投影矩形，∵点B（3，5），∴OC=3，BC=5，∴△OAB投影比k的值为=．

（2）∵点D为函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上的点，设点D坐标为（x，2x﹣4）（x＜2）．分以下两种情况：①当0≤x≤2时，如图3所示，

作投影矩形OMNC．∵OC≥OM，∴，解得x=1，∴D（1，﹣2）；②当x＜0时，如图4所示，作投影矩形MDNC．

∵点D坐标为（x，2x﹣4），点M点坐标为（x，0），∴DM=|2x﹣4|=4﹣2x，MC=4﹣x，∵x＜0，∴DM＞CM，∴，但此方程无解．

∴当x＜0时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D的坐标为D（1，﹣2）．

（3）令y=x+1中y=2，则x+1=2，解得：x=1．

①当m≤1时，作投影矩形A′FB′P，如图5所示．此时点P（m，m+1），PA′=5﹣m，FA′=6﹣（m+1）=5﹣m，△PEF的投影比k==1，∴m≤1不符合题意；

②当1＜m＜3时，作投影矩形A′FB′Q，如图6所示．

此时点P（m，m+1），FB′=5﹣m，FA′=6﹣2=4，△PEF的投影比k==，

∵1＜m＜3，∴1＜k＜2，∴1＜m＜3符合题意；

③当3≤m≤5时，作投影矩形A′FB′E，如图7所示．

此时点E（3，2），FA′=6﹣2=4，FB′=5﹣3=2，△PEF的投影比k==2，

∴3≤m≤5不符合题意；

④当m＞5时，作投影矩形A′PB′E，如图8所示．

此时点P（m，m+1），点E（3，2），PB′=m+1﹣2=m﹣1，PA′=m﹣3，△PEF的投影比k==，∵m＞5，∴1＜k＜2，∴m＞5符合题意．

综上可知：点P的横坐标m的取值范围为1＜m＜3或m＞5．

故答案为：1＜m＜3或m＞5．