题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax﹣a为抛物线(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(﹣2, );(1,0);(2)N点坐标为(0, ﹣3)或(, );(3)E(﹣1,﹣)、F(0, )或E(﹣1,﹣)、F(﹣4, ).
【解析】试题分析:(1)由梦想直线的定义可求得其解析式,联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标;
(2)当N点在y轴上时,过A作AD⊥y轴于点D,则可知AN=AC,结合A点坐标,则可求得ON的长,可求得N点坐标;当M点在y轴上即M点在原点时,过N作NP⊥x轴于点P,由条件可求得∠NMP=60°,在Rt△NMP中,可求得MP和NP的长,则可求得N点坐标;
(3)当AC为平行四边形的一边时,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,可证△EFH≌△ACK,可求得DF的长,则可求得F点的横坐标,从而可求得F点坐标,由HE的长可求得E点坐标;当AC为平行四边形的对角线时,设E(﹣1,t),由A、C的坐标可表示出AC中点,从而可表示出F点的坐标,代入直线AB的解析式可求得t的值,可求得E、F的坐标.
(1)∵抛物线,∴其梦想直线的解析式为,联立梦想直线与抛物线解析式可得: ,解得: 或,∴A(﹣2, ),B(1,0),故答案为: ;(﹣2, );(1,0);
(2)当点N在y轴上时,△AMN为梦想三角形,如图1,过A作AD⊥y轴于点D,则AD=2,在中,令y=0可求得x=﹣3或x=1,∴C(﹣3,0),且A(﹣2, ),∴AC= =,由翻折的性质可知AN=AC=,在Rt△AND中,由勾股定理可得DN= = =3,∵OD=,∴ON=﹣3或ON=+3,当ON=+3时,则MN>OD>CM,与MN=CM矛盾,不合题意,∴N点坐标为(0, ﹣3);
当M点在y轴上时,则M与O重合,过N作NP⊥x轴于点P,如图2,在Rt△AMD中,AD=2,OD=,∴tan∠DAM==,∴∠DAM=60°,∵AD∥x轴,∴∠AMC=∠DAO=60°,又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°,∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,∴MP=MN=,NP=MN=,∴此时N点坐标为(, );
综上可知N点坐标为(0, ﹣3)或(, );
(3)①当AC为平行四边形的边时,如图3,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,则有AC∥EF且AC=EF,∴∠ACK=∠EFH,在△ACK和△EFH中,∵∠ACK=∠EFH,∠AKC=∠EHF,AC=EF,∴△ACK≌△EFH(AAS),∴FH=CK=1,HE=AK=,∵抛物线对称轴为x=﹣1,∴F点的横坐标为0或﹣2,∵点F在直线AB上,∴当F点横坐标为0时,则F(0, ),此时点E在直线AB下方,∴E到y轴的距离为EH﹣OF=﹣=,即E点纵坐标为﹣,∴E(﹣1,﹣);
当F点的横坐标为﹣2时,则F与A重合,不合题意,舍去;
②当AC为平行四边形的对角线时,∵C(﹣3,0),且A(﹣2, ),∴线段AC的中点坐标为(﹣2.5, ),设E(﹣1,t),F(x,y),则x﹣1=2×(﹣2.5),y+t=,∴x=﹣4,y=﹣t,代入直线AB解析式可得﹣t=﹣×(﹣4)+,解得t=﹣,∴E(﹣1,﹣),F(﹣4, );
综上可知存在满足条件的点F,此时E(﹣1,﹣ )、F(0, )或E(﹣1,﹣)、F(﹣4, ).