题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线y=axa为抛物线abc为常数,a0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.

已知抛物线与其“梦想直线”交于AB两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C

1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为

2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACMAM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;

3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点ACEF为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点EF的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(﹣2 );(10);(2N点坐标为(0 3)或( );(3E(﹣1,﹣)、F0 )或E(﹣1,﹣)、F(﹣4 ).

【解析】试题分析:(1)由梦想直线的定义可求得其解析式,联立梦想直线与抛物线解析式可求得AB的坐标;

2)当N点在y轴上时,过AADy轴于点D,则可知AN=AC,结合A点坐标,则可求得ON的长,可求得N点坐标;当M点在y轴上即M点在原点时,过NNPx轴于点P,由条件可求得NMP=60°,在Rt△NMP中,可求得MPNP的长,则可求得N点坐标;

3)当AC为平行四边形的一边时,过F作对称轴的垂线FH,过AAKx轴于点K,可证EFH≌△ACK,可求得DF的长,则可求得F点的横坐标,从而可求得F点坐标,由HE的长可求得E点坐标;当AC为平行四边形的对角线时,设E﹣1t),由AC的坐标可表示出AC中点,从而可表示出F点的坐标,代入直线AB的解析式可求得t的值,可求得EF的坐标.

1抛物线其梦想直线的解析式为,联立梦想直线与抛物线解析式可得 ,解得 A2 ),B10),故答案为: ;(2 );(10);

2)当点Ny轴上时,AMN为梦想三角形,如图1,过AADy轴于点D,则AD=2中,令y=0可求得x=3x=1C30),且A2 ),AC= =由翻折的性质可知AN=AC=,在RtAND中,由勾股定理可得DN= = =3OD=ON=3ON=+3,当ON=+3时,则MNODCM,与MN=CM矛盾,不合题意,N点坐标为(0 3);

M点在y轴上时,则MO重合,过NNPx轴于点P,如图2,在RtAMD中,AD=2OD=tanDAM==∴∠DAM=60°ADx轴,∴∠AMC=DAO=60°,又由折叠可知NMA=AMC=60°∴∠NMP=60°,且MN=CM=3MP=MN=NP=MN=此时N点坐标为( );

综上可知N点坐标为(0 3)或( );

3AC为平行四边形的边时,如图3,过F作对称轴的垂线FH,过AAKx轴于点K,则有ACEFAC=EF∴∠ACK=EFH,在ACKEFH∵∠ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∴△ACK≌△EFHAAS),FH=CK=1HE=AK=抛物线对称轴为x=1F点的横坐标为0或﹣2F在直线AB上,F点横坐标为0时,则F0 ),此时点E在直线AB下方,Ey轴的距离为EHOF==,即E点纵坐标为﹣E1);

F点的横坐标为﹣2时,则FA重合,不合题意,舍去;

AC为平行四边形的对角线时,C30),且A2 ),线段AC的中点坐标为(﹣2.5 ),设E1t),Fxy),则x1=2×2.5),y+t=x=4y=t,代入直线AB解析式可得t=×4+,解得t=E1),F4 );

综上可知存在满足条件的点F,此时E1 )、F0 )或E1)、F4 ).

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