Question

如图，已知一次函数y＝2x＋2的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A(1，m) ．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数 (x＞0)的图象交于点D(n，－2)．

（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一点F，使得△BDF∽△ACE．若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）k₁=4、k₂=－16。
（2）存在符合条件的F坐标为（0，－8）

分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数
中即可求出k₁的值；
过A作AM垂直于y轴，过D作DN垂直于y轴，可得出一对直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△ABM与△BDN相似，由相似得比例，求出DN的长，确定出D的坐标，代入反比例函数 中即可求出k₂的值；
（2）在y轴上存在一个点F，使得△BDF∽△ACE，此时F（0，－8），理由为：由y=2x+2求出C坐标，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE为△BDN的中位线，求出OE的长，进而利用勾股定理求出AE，CE，AC，BD的长，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的长，即可确定出此时F的坐标。
解：（1）将A（1，m）代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，
∴A（1，4）。
将A（1，4）代入反比例解析式得：k₁=4。
过A作AM⊥y轴于点M，过D作DN⊥y轴于点N，

∴∠AMB=∠DNB=90°。∴∠BAM+∠ABM=90°。
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°。∴∠BAM=∠DBN。
∴△ABM∽△BDN。∴，即。∴DN=8。
∴D（8，－2）。
将D坐标代入得：k₂=－16。
（2）存在符合条件的F坐标为（0，－8）。理由如下：
由y=2x+2，求出C坐标为（－1，0）。
∵OB=ON=2，DN=8，∴OE=4。
可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC。
若△BDF∽△ACE，则，即，解得：BF=10。
∴F（0，－8）。
∴存在符合条件的F坐标为（0，－8）。