Question

【题目】在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧（AO下方）区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧（AO上方）区域的速度为10cm/秒．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236， ≈2.449）
（1）分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（3）如图2，作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：沿A→O→B路线行进所用时间为：600÷20+300÷10=60（秒），

在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB= =300 （cm）．

∴沿A→B路线行进所用时间为：300 ÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）

（2）解：在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC= =300 （cm），

∴AC=600﹣300=300（cm）．

∴沿A→C→B路线行进所用时间为：AC÷20+BC÷10=300÷20+300 ÷10≈15+42.42≈57（秒）

（3）解：在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连接P′B，

在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°= = ，∴EP= ，E′P′= ．

∴沿A→P→B路线行进所用时间为：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10= BE（秒），

沿A→P′→B路线行进所用时间为：

AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10= （E′P′+P′B）（秒）．

连接BE′，则E′P′+P′B＞BE′＞BE，∴ BE＜ （E′P′+P′B）．

∴沿A→P→B路线行进所用时间，小于沿A→P′→B路线行进所用时间．

即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短

【解析】（1）根据已知先求出沿A→O→B路线行进所用时间，然后由勾股定理求出AB，从而求出沿A→B路线行进所用时间；（2）首先解Rt△OBC，运用三角函数求出BC，继而得出AC，从而求出沿A→C→B路线到达B处所用的时间；（3）在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连接P′B，分别求出沿A→P→B路线行进所用时间和沿A→P′→B路线行进所用时间进行比较得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．