题目内容

【题目】如图,在正方形中,是等边三角形,的延长线分别交于点,连结相交于点H.给出下列结论,

①△ABE≌△DCF;②△DPH是等腰三角形;③;④

其中正确结论的个数是(  )

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=DCF=30°,再直接利用全等三角形的判定方法得出答案;
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=BHC=75°,进而得出答案;
③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案;
④根据三角形面积计算公式,结合图形得到△BPD的面积=BCP的面积+CDP面积-BCD的面积,得出答案.

∵△BPC是等边三角形,
BP=PC=BC,∠PBC=PCB=BPC=60°
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD,∠A=ADC=BCD=90°
∴∠ABE=DCF=30°
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△DCF,故①正确;

PC=BC=DC,∠PCD=30°
∴∠CPD=75°
∵∠DBC=45°,∠BCF=60°
∴∠DHP=BHC=18075°
PD=DH
∴△DPH是等腰三角形,故②正确;
PF=xPC=y,则DC=AB=PC=y
∵∠FCD=30°

整理得:

解得:

,故③正确;

如图,过PPMCDPNBC


设正方形ABCD的边长是4

∵△BPC为正三角形,
∴∠PBC=PCB=60°PB=PC=BC=CD=4
∴∠PCD=30°


SBPD=S四边形PBCD-SBCD=SPBC+SPDC-SBCD

,故④正确;

故正确的有4个,
故选:A

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