题目内容
【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．
（1）△EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；
（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；
（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．
【答案】
（1）x；D
（2）
解：①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y= 
x2；
②分两种情况：
Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x﹣6，
∴GM= 
（3x﹣6），
由勾股定理得：MN= 
（3x﹣6），
∴S△GMN= ×GM×MN= × （3x﹣6）× （3x﹣6）= 
（3x﹣6）2，
所以，此时y= x2﹣ （3x﹣6）2=﹣ 
；
Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC=6﹣x，
∴y= （6﹣x）2= x2﹣ 
x+ 
，
Ⅲ．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，
∴y=0
（3）
解：当0＜x≤2时，
∵y= x2，在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x=2时，y最大= 
；
当2＜x＜3时，∵y=﹣ 
在x= 
时，y最大= 
；
当3≤x≤6时，∵y= 
，在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x=3时，y最大= 
．
综上所述：当x= 时，y最大= ．
【解析】解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF﹣BE=2x﹣x=x，
∴△EFG的边长是x；
过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC﹣AD=3，
∴DH=CHtan30°=3× 
当x=2时，BE=EF=2，
∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF= 
=2，
∴△DEF是等边三角形，
∴点G的位置在D点．
故答案为x，D点；
（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时及x＞6，进行计算；（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．
