题目内容
【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得： 
，解得： 
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（2）
解：设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，
把点点B（3，0）代入y=kx+3中，
得：0=3k+3，解得：k=﹣1，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣ 
+ 
，
∴当m= 
时，线段MN取最大值，最大值为 ．
（3）
解：假设存在．设点P的坐标为（2，n）．
当m= 时，点N的坐标为（ ， ），
∴PB= 
= 
，PN= 
，BN= 
= 
．
△PBN为等腰三角形分三种情况：
①当PB=PN时，即 = ，
解得：n= ，
此时点P的坐标为（2， ）；
②当PB=BN时，即 = ，
解得：n=± 
，
此时点P的坐标为（2，﹣ ）或（2， ）；
③当PN=BN时，即 = ，
解得：n= 
，
此时点P的坐标为（2， 
）或（2， 
）．
综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点的坐标为（2， ）、（2，﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）．
【解析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的性质和两点间的距离是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记．
