Question

如图，已知等边三角形ABC在BC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形DCE（△ABC与△DCE在同一侧）连接AE、BD．点M是BD的中点，点N是AE的中点．
（1）在图中找出两对可以通过旋转而相互得到的三角形，并指出旋转中心及旋转角度数
（2）△CMN是什么三角形？为什么？

Answer 1

解：（1）△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE；△BCM绕点C顺时针旋转60°得到△ACN；
（2）△CMN是等边三角形；
∵△BCM绕点C顺时针旋转60°得到△ACN；
∴由旋转的性质可知：CM=CN，∠BCM=∠ACN，
∵∠BCM+∠ACM=60°，
∴∠ACM+∠ACN=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形．
分析：（1）根据题目提供的两个等边三角形可以得到△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE；△BCM绕点C顺时针旋转60°得到△ACN；
（2）由旋转的性质可知，CM=CN，∠BCM=∠ACN，因为∠BCM+∠ACM=60°，所以∠ACM+∠ACN=60°，所以∠MCN=60°，所以△CMN是等边三角形．
点评：本题考查了等边三角形的判定及性质和旋转的知识，解题的关键是弄清旋转的不变性得到不变量．