Question

（本题8分）已知关于的方程的两实根为，且．
⑴试用含有的代数式表示和；
⑵求证：；
⑶若以为坐标的点在△ABC的三边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A，B，C，问是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），
（2）略
（3）M存在，M；

分析：
（1）因为原方程有两个相等的实数根，故判别式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因为α≤β，故只需求（1-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标。
解答：
（1）∵α、β为方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根，
∴判别式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=5/4
成立，只需α+β=p+q+1=9/4，
①当点M（α，β）在BC边上运动时，
由B（1/2，1），C（1，1），
得1/2≤α≤1，β=1，
而α=9/4-β=9/4-1=5/4＞1，
故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（5/4，1）所以不符合题意舍去；
即在BC边上不存在满足条件的点。
②当点M（α，β）在AC边上运动时，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此时β=9/4-α=9/4-1=5/4，
又因为1＜5/4＜2，
故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，5/4）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，
由A（1，2），B（1/2，1），
得1/2≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得（1-α）/（1-1/2）=（2-β）/（2-1），
于是β=2α，
由β=2α且α+β=9/4
解得α=3/4，β=3/2，
又因为1/2＜3/4＜1，1＜3/2＜2，
故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（3/4，3/2）。
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，5/4）和点（3/4，3/2），使p+q=5/4成立。
点评：此题较复杂，将根与系数的关系、根的判别式与动点问题相结合，体现了运动变化的观点．由于情况较多，需要分类讨论。