题目内容

【题目】在等边三角形ABC中,点DBC的中点,点EF分别是边ABAC(含线段ABAC的端点)上的动点,且∠EDF=120°,小明和小慧对这个图形展开如下研究:

问题初探:

1)如图1,小明发现:当∠DEB=90°时,BE+CF=nAB,则n的值为______

问题再探:

2)如图2,在点EF的运动过程中,小慧发现两个有趣的结论:

DE始终等于DF;②BECF的和始终不变;请你选择其中一个结论加以证明.

成果运用

3)若边长AB=4,在点EF的运动过程中,记四边形DEAF的周长为LL=DE+EA+AF+FD,则周长L的变化范围是______

【答案】1;(2BECF的和始终不变,见解析;(3

【解析】

1)先利用等边三角形判断出BD=CD=AB,进而判断出BE=BD,再判断出∠DFC=90°,得出CF=CD,即可得出结论;

2)①构造出EDG≌△FDHASA),得出DE=DF,即可得出结论;

②由(1)知,BG+CH=AB,由①知,EDG≌△FDHASA),得出EG=FH,即可得出结论;

3)由(1)(2)判断出L=2DE+6,再判断出DEAB时,L最小,点F和点C重合时,DE最大,即可得出结论.

解:(1)∵△ABC是等边三角形,

∴∠B=C=60°AB=BC

∵点DBC的中点,

BD=CD=BC=AB

∵∠DEB=90°

∴∠BDE=90°-B=30°

RtBDE中,BE=BD

∵∠EDF=120°,∠BDE=30°

∴∠CDF=180°-BDE-EDF=30°

∵∠C=60°

∴∠DFC=90°

RtCFD中,CF=CD

BE+CF=BD+CD=BC=AB

BE+CF=nAB

n=

故答案为

2)如图2

①过点DDGABGDHACH

∴∠DGB=AGD=CFD=AHF=90°

∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=60°

∴∠GDH=360°-AGD-AHD-A=120°

∵∠EDF=120°

∴∠EDG=FDH

∵△ABC是等边三角形,且DBC的中点,

∴∠BAD=CAD

DGABDHAC

DG=DH

EDGFDH中,

∴△EDG≌△FDHASA),

DE=DF

即:DE始终等于DF

②同(1)的方法得,BG+CH=AB

由①知,EDG≌△FDHASA),

EG=FH

BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB

BECF的和始终不变

3)由(2)知,DE=DFBE+CF=AB

AB=4

BE+CF=2

∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD

=DE+AB-BE+AC-CF+DF

=DE+AB-BE+AB+DE

=2DE+2AB-BE+CF

=2DE+2×4-2

=2DE+6

DE最大时,L最大,DE最小时,L最小,

DEAB时,DE最小,

由(1)知,BG=BD=1

DE最小=BG=

L最小=2+6

当点F和点C重合时,DE最大,此时,∠BDE=180°-EDF=120°=60°

∵∠B=60°

∴∠B=BDE=BED=60°

∴△BDE是等边三角形,

DE=BD=AB=2

即:L最大=2×2+6=10

∴周长L的变化范围是2≤L≤10

故答案为2≤L≤10

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