Question

23、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是

FG=DC+AD

．（只写答案）

Answer 1

分析：（1）本题可采用截取的方法，先证明AF=GF，只要再证明DF=CD即可，这只要证明这两条线段所在的三角形全等即可；
（2）结合（1）及图形我们可猜测出：FG=DC+AD；证法同（1），先证△FDB≌△CDA，得DC=DF，进而可得出FG=DC+AD的结论．

解答：（1）证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°；
∴AD=BD；
∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°；
∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC；
∵∠FDB=∠CDA=90°，
∴△FDB≌△CDA；
∴DF=DC；
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC；
∴∠AGF=∠BAD；
∴FA=FG；
∴FG+DC=FA+DF=AD．

（2）FG=DC+AD．
证法同（1）．

点评：此题考查的是等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质；通过全等三角形证得CD=DF是解答此题的关键．