题目内容
（2009•哈尔滨）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是______；
（3）在（2）的条件下，若AG=
，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=
，求线段PQ的长．
【答案】分析：（1）首先证明∠CBE=∠DAC，∠AGF=∠BAD可推出FA=FG；
（2）与（1）证明方法同理；
（3）首先证明△FDC为等腰直角三角形，然后证明四边形DFHB为矩形．根据三角函数的计算得出．
解答：
证明：
（1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；
解：（2）FG-DC=AD；
（3）如图，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5
，FG2+AF2=AG2，
∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC为等腰直角三角形
∴FC=
，
分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF=BD=2 BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=
∵sin∠G=
，
∴NK=
×
=
，
∴BK=
∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴
，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF=
FC=
，
∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴
，
∴
，
∴CQ=
FC=
=
，
∴PQ=CP-CQ=
．
点评：本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及综合分析、解答问题的能力，涉及到三角函数的计算，难度偏难．
（2）与（1）证明方法同理；
（3）首先证明△FDC为等腰直角三角形，然后证明四边形DFHB为矩形．根据三角函数的计算得出．
解答：
证明：（1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；
解：（2）FG-DC=AD；
（3）如图，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5
，FG2+AF2=AG2，∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC为等腰直角三角形
∴FC=
，分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF=BD=2 BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=
∵sin∠G=
，∴NK=
×=，∴BK=
∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴
，∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF=
FC=，∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴
，∴
，∴CQ=
FC==，∴PQ=CP-CQ=
．点评：本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及综合分析、解答问题的能力，涉及到三角函数的计算，难度偏难．
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