题目内容

【题目】如图抛物线y=ax2+bx,过点A(4,0)和点B(6,2),四边形OCBA是平行四边形,点M(t,0)为x轴正半轴上的点,点N为射线AB上的点,且AN=OM,点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式,并直接写出点D的坐标;

(2)当△AMN的周长最小时,求t的值;

(3)如图②,过点MMEx轴,交抛物线y=ax2+bx于点E,连接EM,AE,当△AME与△DOC相似时.请直接写出所有符合条件的点M坐标.

【答案】(1)y=x2x,D的坐标为(2,﹣);(2)t=2;(3)M点的坐标为(2,0)或(6,0).

【解析】

(1)利用待定系数法求抛物线解析式;利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标;

(2)连接AC,如图①,先计算出AB=4,则判断平行四边形OCBA为菱形,再证明AOCACB都是等边三角形,接着证明OCM≌△ACN得到CM=CN,OCM=ACN,则判断CMN为等边三角形得到MN=CM,于是AMN的周长=OA+CM,由于CMOA时,CM的值最小,AMN的周长最小,从而得到t的值;

(3)先利用勾股定理的逆定理证明OCD为直角三角形,∠COD=90°,设M(t,0),则E(t,t2-t),根据相似三角形的判定方法,当时,AME∽△COD,即|t-4|:4=|t2-t |:,当时,AME∽△DOC,即|t-4|:=|t2-t |:4,然后分别解绝对值方程可得到对应的M点的坐标.

1)把A40)和B62)代入y=ax2+bx

,解得

∴抛物线解析式为y=x2-x

y=x2-x =-2) 2-

∴点D的坐标为(2-);

2)连接AC,如图①,

AB==4

OA=4

∴平行四边形OCBA为菱形,

OC=BC=4

C22),

AC==4

OC=OA=AC=AB=BC

∴△AOC和△ACB都是等边三角形,

∴∠AOC=COB=OCA=60°

OC=ACOM=AN

∴△OCM≌△ACN

CM=CN,∠OCM=ACN

∵∠OCM+ACM=60°

∴∠ACN+ACM=60°

∴△CMN为等边三角形,

MN=CM

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM

CMOA时,CM的值最小,△AMN的周长最小,此时OM=2

t=2

3)∵C22),D2-),

CD=

OD=OC=4

OD2+OC2=CD2

∴△OCD为直角三角形,∠COD=90°

Mt0),则Ett2-t),

∵∠AME=COD

∴当时,△AME∽△COD,即|t-4|4=|t2-t |

整理得|t2-t|=|t-4|

解方程t2-t =t-4)得t1=4(舍去),t2=2,此时M点坐标为(20);

解方程t2-t =-t-4)得t1=4(舍去),t2=-2(舍去);

时,△AME∽△DOC,即|t-4|=|t2-t |4,整理得|t2-t |=|t-4|

解方程t2-t =t-4t1=4(舍去),t2=6,此时M点坐标为(60);

解方程t2-t =-t-4)得t1=4(舍去),t2=-6(舍去);

综上所述,M点的坐标为(20)或(60).

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