题目内容
【题目】在△ABC中,AB=AC=10,sin∠BAC=,过点C作CD∥AB,点E在边AC上,AE=CD,联结AD,BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G.设CD=x,△CEF的面积为y.
(1)求证:∠ABE=∠CAD.
(2)如图,当点G在线段AD上时,求y关于x的函数解析式及定义域.
(3)若△DFG是直角三角形,求△CEF的面积.
【答案】(1)见解析;(2)y=(0<x≤5-5);(3)若△DFG是直角三角形,则△CEF的面积为15或.
【解析】
(1)由CD∥AB知∠BAC=∠ECD,结合AE=CD,AB=AC证△DAC≌△EBA即可得;
(2)作EH⊥AB,先表示出S△ABE=ABEH=3x,再证∴△CEF∽△AEB,得=()2,据此可得答案;
(3)由∠DFG=∠EBA<∠ABC知∠DFG不可能为直角,从而分∠DGF=90°和∠GDF=90°两种情况分别求解.
(1)∵CD∥AB,
∴∠BAC=∠ECD,
又∵AE=CD,AB=AC,
∴△DAC≌△EBA(SAS),
∴∠ABE=∠CAD;
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,
由题意知CE=AC-AE=10-x,EH=AEsin∠CAB=x,
∴AH=x,
则S△ABE=ABEH=×10×x=3x,
∵CF∥BA,
∴△CEF∽△AEB,
∴=()2,即=,
∴y=(0<x≤5-5);
(3)∵∠DFG=∠EBA<∠ABC,
∴∠DFG不可能为直角,
①当∠DGF=90°时,∠EGA=90°,
由∠GAE=∠GBA知△GAE∽△GBA,
∴tan∠GBA===,
在Rt△EHB中,tan∠GBA===,
∴=,
解得:x=0(舍)或x=5,
∴S△CEF==15;
②当∠GDF=90°时,∠BAG=90°,
由①知△GAE∽△GBA,
则∠AEB=∠GEA=90°,
∴BE=ABsin∠BAC=10×=6,AE==8,CE=AC-AE=2,
由△CEF∽△AEB知=,即=,
则EF=,
∴S△CEF=×EF×CE=×2×=;
综上所述,若△DFG是直角三角形,则△CEF的面积为15或.
【题目】根据重庆轨道集团提供的日客运量统计,2019年2月21日重庆轨道交通首次日客运量突破300万乘次,其中近期开通的重庆轨道交通环线日客运量为21.5万乘次.据了解,某工作日上午7点至9点轨道环线四公里站有20列列车进出站,每列车进出站时,将上车和下车的人数记录下来,各得到20个数据,并将数据进行整理,绘制成了如下两幅不完整统计图.(数据分组为:组:,组:,组:,组:,组:)
I.上车人数在组的是:190,190,191,192,193,193,195,196,198,198,198,198;
II.上车人数的平均数、中位数如下表:
平均数 | 中位数 | |
上车人数(人) | 194 | a |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请补全频数分布直方图;
(2)表中________,扇形统计图中_________,扇形统计图中组所在的圆心角度数为________度;
(3)请利用平均数,估算一周内5个工作日的上午7点至9点重庆轨道环线四公里站的上车总人数.